紐遊びと、ユークリッド的空間認識を鍛える有害性

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我が家では紐で遊ぶことに注力してます。長男が1歳すぎた頃に毛糸の玉を買い、それで自由に遊ぶことを推奨してきました。身体を使って自分より大きな空間を使った遊びを重視しています。

教育学者ピアジェによれば、子供の空間認識はトポロジー的→射影幾何学的→ユークリッド的に発達するとのことです。ピアジェのいう空間認識と、私がここで指摘する数学に役立つ空間認識とは少し違いますが、数学教育においても同様の発達をすると思います。

我が家では10歳頃にユークリッド的空間認識ができれば良いと思っています。なぜなら、数学者として必要な幾何学は厳密なユークリッド的なものは少ないからです。射影幾何学・トポロジー的幾何学が要求されます。ただし、設計技師として必要な能力はユークリッド的な能力かもしれません。ですが、この能力は12歳以降でも十分鍛えられます。

でも、中学入試では立体図の問題が出るじゃないか、という不安の声もあるでしょう。答えは二つ。
第一の答えは、だから中学入試に子供を特化することは大人なったときに不適合を起こしやすい。
第二の答えは、ユークリッド的幾何学でない立体図もある。そして、ユークリッド的発想より、トポロジー的・射影幾何学的発想のほうな解きやすい問題もある。灘中入試の過去問では射影幾何学の問題も出ました。その問題は、ユークリッド的空間認識で頭を固くしていると解けません。つまり、難問になるほど、原始的なトポロジー的・射影幾何学的発想が重要になってくるわけです。
(例:灘中入試・算数、平成24年第1日第10問、二等辺三角形の問題は射影幾何学が必要)

トポロジーに制限を加えたのが射影幾何学であり、射影幾何学にさらに制限を加えたのがアフィン幾何学、アフィン幾何学にさらに制限を加えたのがユークリッド幾何学です。
 参照:「物理と対称性」坂東昌子(丸善)

フラクタルの創始者であるマンデルブロは、"おいしいワインやチーズをつくりたければ、急いではならない。それなのにすぐれた人間を生み出したいときにはなぜ、柔軟な若い心にクッキーの抜き型を押しつけるようにして急ぐのか?材料が型に収まると、その形は生涯ずっと保たれる。"と言っています。
 参照:「フラクタリスト マンデルブロ自伝」(早川書房)p.172

つまり、一度ユークリッド幾何学的空間認識に凝り固まると、トポロジー的空間認識ができにくくなるのです。大学受験まではユークリッド的空間認識で十分適応可能ですが、社会人になってからは逆に枠にはめられた空間認識になってしまいます。もっと直観的な空間認識ができなくなるのです。

またマンデルブロが言っているように、すべての算数・数学の問題は幾何学的に解くことができます。つまり、すべての入試問題は幾何学的に簡単に解くことが原理的には可能なのです。しかし、ユークリッド幾何学だけでは足りません。射影幾何学、トポロジーが代数の問題にも必要となるのです。

ただし、うちには知育玩具として、積み木もピタゴラスプレートも三角タングラムもタングラムもありますよ。それらを否定はしません。長男がそれらの知育玩具でたまに遊びますが、それよりもトポロジー的な紐遊びのほうが重要と思ってます。自分の身体より小さなユークリッド的知的玩具で遊びすぎると、射影幾何学的・トポロジー的空間認識を使えば簡単に解ける問題に苦労するのです。

また僕は「新版 組みひもの数理」(河野 俊丈)などを読んで、紐遊びとトポロジーの関係をあらかじめ頭に入れています。

射影幾何学的空間認識に関しては懐中電灯で勝手に遊ばせています。中学になれば、楕円・双曲線・放物線をならい、それぞれの定理を覚える必要があります。しかし、射影幾何学的空間認識ができているのなら、楕円・双曲線・放物線の3つは同じものなのですから、覚えるべき定理は1/3ですむことになるのです。このように、図形の勉強には注意が必要となります。

参照:「新薩摩学 Vol.9」最終章に久木田英史氏によるデザルグの伝記。


(長男がひっくり返した椅子に乗せたボンゴとドアをロープで結び、隣の部屋の天井からぶら下げがっている紐とドアを赤い毛糸で結んでいる。子供の高さだと問題ないのですが、大人が通るには非常に邪魔です。数日たつから、そろそろ解こうかな。)


(これは2014年11月の写真です。数日に1度は親に紐をほどかれるので、だんだん紐の巻き方が結び目のように変わってきた長男。12月半ばに紐を結ぶことができるようになりました。また紐結びができると同時に、あや取りもできるようになってきました。)


ホットプレートと机の周りに毛糸




2人で毛糸を引っ張りはじめ


次男の体に絡まり


最後はこうなる


使用後は親がきれいに球の形に巻きとりました


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